Had den Fehler im Netzteil vermutlich gefunden.
Das Recapping der Elkos hat am Problöem nichts geändert. Ich habe den Rechner dann mal weiter zerlegt, um die Komponenten ohne Gehäuse testen zu können, da man sonst so gut wie nix messen kann.
Das Problem war, dass die 5V-Spannung an der Display-Stromversorgung eingebrochen ist. Die Spannung wird durch einen 78L05-Spannungsregler im TO-92-Gehäuse erzeugt. Ich hatte mir schon Ersatz besorgt, habe mir dann aber nochmal die recappten Kondensatoren angesehen. Das war gut so. Denn ich hatte C19 falsch herum eingelötet. Der Kondensator hängt zwischen Ausgang und "Masse" des Spannungsreglers.
Ich hatte mich beim Einlöten von dem "+" auf der Platine verwirren lassen. Dieses ist jedoch nicht für C19, sondern für den Elko C16 daneben...
Wahrscheinlich war es nur der Schwachbrüstigkeit des 78L05 zu verdanken, dass der Tantal nicht hochgegangen ist. 
Hier im Bild habe ich C19 richtig rum eingelötet.
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Im fliegenden Testaufbau bleibt das Display jetzt an.
Hier übrigens Bilder vom Testaufbau. Das ging nicht besser, da zum Testen die gesamte Rechnerelektronik (minus Laufwerke) benötigt wird und die Kabel nicht wirklich lang sind. Die drei angelöteten Dupont-Kabel sind mein Messabgriff für den Spannungswandler
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Längere Tests wollte ich dem Netzteil aber ohne Lüfter und dem sicherlich nicht VDE-konformen Testaufbau nicht zumuten.
Eingeschaltet habe ich "remote" über eine Steckdosenleiste mit Schalter. 
Jetzt geht es erst mal wieder daran das Netzteil und den Rechner wieder zusammenzubauen und weiter zu testen.