TI-57 Fakultäten - Teil 1
n! (1<=n<=69)
Für den Schulbetrieb bot der TI-57 - gewissermaßen das "Ford Modell T" unter den programmierbaren Taschenrechnern - seinerzeit einen recht brauchbaren Satz wissenschaftlicher Funktionen. Gemessen an modernen Schulrechnern fehlt aber doch einiges: Grundlegendes wie Bruchrechnen, aber auch hyperbolische Funktionen, ihre Umkehrungen die Areafunktionen, und vor allem kombinatorische Funktionen wie etwa die Fakultät. Nun gut, dafür ist der Rechner programmierbar.
Die Fakultät einer natürlichen Zahl n, geschrieben als n!, ist definiert als Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird sie sehr häufig gebraucht.
Mit Taschenrechnern wie dem TI-57 und vielen anderen Schulrechnern, deren Darstellungsbereich bis 9.9999...E99, also knapp10100 reicht, lassen sich bekanntlich Fakultäten bis 69!= 1.7112...*1098 berechnen. Manuell, als Produkt aus 69 einzelnen Faktoren gelingt das kaum fehlerfrei - schon gar nicht mit den notorisch prellenden Tasten der alten TI-Rechner. Da kommt natürlich ein Programm zur Berechnung von Fakultäten gerade recht. Nehmen wir eine Routine, die sich so ähnlich auch im Handbuch zum TI-57 findet, hier leicht abgewandelt: der Aufruf erfolgt nicht mit R/S, sondern mit SBR 0:
Programmcode n!
mit 1<= n<= 69
LRN (Beginn der Programmeingabe)
Programmschritt
| Anzeige
| | Anweisung
| | | Bemerkung
| | | |
00 86 0 2nd Lbl 0 Routinenbeginn
01 32 0 STO 0 Startwert von i= n
02 86 1 2nd Lbl 1 **Schleife i = n (-1) 1
03 33 0 RCL 0 Zähler i
04 55 × Produkt
05 56 2nd Dsz Dekrementierung von i
06 51 1 GTO 1 **Schleifensprung
07 01 1 Faktor 1 zum Ende der Schleife
08 85 =
09 -61 INV SBR Routinenende
LRN (Ende der Programmeingabe)
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Die Routine kann entweder direkt oder von einem übergeordneten Programm aufgerufen werden. Letzteres gestattet z.B.die programmgesteuerte Berechnung von Binomialkoeffizienten bzw. Kombinationen oder Permutationen.
Einfache Beispiele
1!
Eingabe: 1 SBR 0
Ergebnis: 1.
0!
Ergebnis: 0.
Per Definition ist 0! gleich 1. Die Ergebnisse für alle natürlichen Zahlen bis 69 stimmen aber. Also gleich zwei weitere Proben auf's Exempel.
10!
Ergebnis: 3628800.
Exakt.
69!
23 Sekunden für die Antwort in sattem LED-Rot:
1.7112245 98
(1.7112245 E98)
Der genaue Wert lautet:
171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000
Gerundet auf die angezeigten Stellen schneidet das Programm ganz gut ab.
70!
Ergebnis: 9.9999999 E99 (blinkend)
Fehler wegen Überschreitung des Darstellungsbereichs.
Typisches Praxisbeispiel
Ein Sammler alter Homecomputer besitzt Geräte folgender Hersteller:
2 Amstrad
2 Apple
5 Atari
5 Commodore
5 Schneider
3 Sinclair
Zu einem Retro-Treffen wählt er 3 Geräte nach Zufall aus.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich darunter wenigstens ein Modell von Amstrad oder Schneider befindet?
Lösung
Klarheit verschafft die Kombination ohne Wiederholung, definiert als:
C(n;k):= n! / ((n-k)! k!)
Es gibt C(22;3) Möglichkeiten 3 Rechner aus insgesamt 22 auszuwählen. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. In C(15;3) Fällen befindet sich unter den ausgewählten Geräten kein einziges von Amstrad und kein einziges von Schneider. Diese beiden Kombinationen werden mit dem Programm nacheinander aus den verschiedenen Fakultäten berechnet:
C(22;3)
22 - 3 = 19.
SBR 0
Zwischenergebnis: 1.216451 E17
STO 1
3 SBR 0
Zwischenergebnis: 6.
2nd Prd 1
22 SBR 0
Zwischenergebnis: 1.1240007 E21
÷ RCL 1 = 1540.
C(22;3)= 1540
STO 1
C(15;3)
15 - 3 = 12.
SBR 0
Zwischenergebnis: 4.790016 E8
STO 2
3 SBR 0
Zwischenergebnis: 6.
2nd Prd 2
15 SBR 0
Zwischenergebnis: 1.3076744 E12
÷ RCL 2 = 455.
C(15;3)= 455
STO 2
In allen anderen Fällen ist wenigstens ein Amstrad oder Schneider dabei:
RCL 1 - RCL 2 = 1085.
Die Wahrscheinlichkeit dafür:
÷ RCL 1 = 0.7045455
Grob 70%.
Lesenswertes zu Fakultäten
Fortsetzung folgt.
Mit fakultativen Grüßen!
Thorsten