TI-57 Fakultäten

  • TI-57 Fakultäten - Teil 1

    n! (1<=n<=69)

    Für den Schulbetrieb bot der TI-57 - gewissermaßen das "Ford Modell T" unter den programmierbaren Taschenrechnern - seinerzeit einen recht brauchbaren Satz wissenschaftlicher Funktionen. Gemessen an modernen Schulrechnern fehlt aber doch einiges: Grundlegendes wie Bruchrechnen, aber auch hyperbolische Funktionen, ihre Umkehrungen die Areafunktionen, und vor allem kombinatorische Funktionen wie etwa die Fakultät. Nun gut, dafür ist der Rechner programmierbar. :idea:


    Die Fakultät einer natürlichen Zahl n, geschrieben als n!, ist definiert als Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird sie sehr häufig gebraucht.


    Mit Taschenrechnern wie dem TI-57 und vielen anderen Schulrechnern, deren Darstellungsbereich bis 9.9999...E99, also knapp10100 reicht, lassen sich bekanntlich Fakultäten bis 69!= 1.7112...*1098 berechnen. Manuell, als Produkt aus 69 einzelnen Faktoren gelingt das kaum fehlerfrei - schon gar nicht mit den notorisch prellenden Tasten der alten TI-Rechner. Da kommt natürlich ein Programm zur Berechnung von Fakultäten gerade recht. Nehmen wir eine Routine, die sich so ähnlich auch im Handbuch zum TI-57 findet, hier leicht abgewandelt: der Aufruf erfolgt nicht mit R/S, sondern mit SBR 0:



    Programmcode n!

    mit 1<= n<= 69




    Die Routine kann entweder direkt oder von einem übergeordneten Programm aufgerufen werden. Letzteres gestattet z.B.die programmgesteuerte Berechnung von Binomialkoeffizienten bzw. Kombinationen oder Permutationen.



    Einfache Beispiele

    1!


    Eingabe: 1 SBR 0

    Ergebnis: 1.


    :thumbup:



    0!


    Ergebnis: 0.


    :thumbdown:


    Per Definition ist 0! gleich 1. Die Ergebnisse für alle natürlichen Zahlen bis 69 stimmen aber. Also gleich zwei weitere Proben auf's Exempel.



    10!


    Ergebnis: 3628800.


    Exakt.



    69!


    23 Sekunden für die Antwort in sattem LED-Rot:


    1.7112245 98


    (1.7112245 E98)


    Der genaue Wert lautet:

    171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000


    Gerundet auf die angezeigten Stellen schneidet das Programm ganz gut ab.



    70!


    Ergebnis: 9.9999999 E99 (blinkend)

    Fehler wegen Überschreitung des Darstellungsbereichs.



    Typisches Praxisbeispiel

    Ein Sammler alter Homecomputer besitzt Geräte folgender Hersteller:


    2 Amstrad

    2 Apple

    5 Atari

    5 Commodore

    5 Schneider

    3 Sinclair


    Zu einem Retro-Treffen wählt er 3 Geräte nach Zufall aus.


    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich darunter wenigstens ein Modell von Amstrad oder Schneider befindet?



    Lösung


    Klarheit verschafft die Kombination ohne Wiederholung, definiert als:

    C(n;k):= n! / ((n-k)! k!)


    Es gibt C(22;3) Möglichkeiten 3 Rechner aus insgesamt 22 auszuwählen. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. In C(15;3) Fällen befindet sich unter den ausgewählten Geräten kein einziges von Amstrad und kein einziges von Schneider. Diese beiden Kombinationen werden mit dem Programm nacheinander aus den verschiedenen Fakultäten berechnet:


    C(22;3)

    22 - 3 = 19.

    SBR 0

    Zwischenergebnis: 1.216451 E17

    STO 1

    3 SBR 0

    Zwischenergebnis: 6.

    2nd Prd 1

    22 SBR 0

    Zwischenergebnis: 1.1240007 E21

    ÷ RCL 1 = 1540.

    C(22;3)= 1540

    STO 1


    C(15;3)

    15 - 3 = 12.

    SBR 0

    Zwischenergebnis: 4.790016 E8

    STO 2

    3 SBR 0

    Zwischenergebnis: 6.

    2nd Prd 2

    15 SBR 0

    Zwischenergebnis: 1.3076744 E12

    ÷ RCL 2 = 455.

    C(15;3)= 455

    STO 2


    In allen anderen Fällen ist wenigstens ein Amstrad oder Schneider dabei:

    RCL 1 - RCL 2 = 1085.


    Die Wahrscheinlichkeit dafür:

    ÷ RCL 1 = 0.7045455

    Grob 70%. :)



    Lesenswertes zu Fakultäten


    Basteleien mit Fakultäten

    Große Fakultäten

    Und noch mehr




    Fortsetzung folgt.


    Mit fakultativen Grüßen!

    Thorsten

    : RPN ."Register-Postfix-Notation" ;

  • TI-57 Fakultäten - Teil 2

    n! mit n >> 69

    Wie in Teil 1 gesehen, stößt die Berechnung von Fakultäten rasch an die Obergrenze des zulässigen Zahlenbereichs. Meist ist bei 69!, in manchen RPN-Rechnern bei 253! Schluß. In Anwendungen wie der Thermodynamik und natürlich der Kombinatorik treten aber durchaus auch Fakultäten weit oberhalb 1000! auf - für nichtprogrammierbare Taschenrechner ein schwierig zu überwindendes Problem.


    Dagegen gestatten einfache programmierbare Taschenrechner wie der TI-57 den Wertebereich für n! fast beliebig auszudehnen - sofern keine exakten Werte benötigt werden. Wegen des knappen Programmspeichers kommt eine simple Lösung zum Einsatz: Mantisse und Exponent von n! werden nicht mehr in einer einzigen Gleitkommazahl gerechnet, sondern getrennt voneinander, genau so wie beim Multiplizieren mit dem Rechenschieber.



    Auf getrennte Rechnung

    Auch in der Gleitkommaarithmetik eines Taschenrechners werden Mantisse und Exponent separat behandelt; allerdings in eng gesteckten Grenzen. So ist im TI-57 der Betrag des Exponenten beschränkt auf ganzzahlige Werte unter 100. Bildet man nun aber den Exponenten selbst als eigenständige Gleitkommazahl, die bis knapp 10^100 reicht, erhöht sich die Obergrenze des Wertebereichs um den Faktor 10^98. Das dürfte eine Weile reichen ...


    Die Mantisse wird wie gewohnt im AOS-Rechenstapel behandelt und normiert, d.h. so skaliert, daß sie Werte zwischen 1 und 10 annimmt. Exponenten werden separat in Register 7 gespeichert, so daß man bei der Ausgabe bequem mit x<->t zwischen der Anzeige der Mantisse und des Exponenten wechseln kann.


    Zunächst eine eigene Routine für dieses Rechenschema:



    Normierungsroutine zur Multiplikation großer Zahlen


    Multiplikand < 10^10^100,

    Multiplikator < 10^100,

    Produkt < 10^10^100





    Eingabe


    Exponent Multiplikand STO 7

    Mantisse Multiplikand × Multiplikator SBR 0


    Ausgabe


    Normierte Mantisse des Produkts


    Wechsel zur Anzeige des Exponenten mit x<->t



    Beispiel


    9.9999999 E99 × 1.111 E11


    99 STO 7

    9.9999999 × 1.111 EE 11 SBR 0


    Ergebnis:

    1.1111

    x<->t

    111


    Intern ist die Mantisse 11-stellig. Die drei nicht angezeigten Stellen lassen sich mit der weiter oben beschriebenen Methode auslesen:

    1.1109999888 E111


    Die Obergrenze 9.999... E99 des Taschenrechners stellt also keine Hürde mehr dar.



    Große Fakultäten im Trippelschritt


    Wie in Teil 1 berechnen wir die Fakultät schrittweise, nur wird diesmal jeder Faktor in Mantisse und Exponent aufgeteilt, wofür wir uns der Normierungsroutine (SBR 0) bedienen. Das geht natürlich zulasten der Rechenzeit, erfordert aber nur wenig neuen Code.



    Fakultäten n!


    n >> 69




    Eingabe


    n SBR 1


    Ausgabe


    Mantisse der Fakultät


    Wechsel zur Anzeige des Exponenten mit x<->t



    Beispiele


    69!


    69 SBR 1


    Ergebnis nach 1m45s Rechenzeit:

    1.7112245


    Wechsel auf Anzeige des Exponenten mit x<->t:

    98.


    Also:

    1.7112245 E98


    Alle 11 Stellen der Mantisse ausgelesen:


    1.7112245227 E98


    9 genaue Stellen, so viele wie das Programm aus Teil 1. Zwei der 11 internen Stellen sind infolge wiederholter Rundungsfehler ungenau geworden. Die Berechnung dauert wegen der ständigen Normierung der Faktoren fast 5mal so lang wie in Teil 1.


    Aber eigentlich interessiert uns ja der Bereich oberhalb n= 69.



    100!


    9.3326215296 E157


    8 genaue Stellen.



    253!


    Die größte im HP 32sII unmittelbar berechenbare Fakultät. Er liefert in 1 Sekunde ein auf 12 Stellen genaues Ergebnis. Unser einfaches Programm benötigt etwa 7 Minuten, für 8 genaue Stellen:

    5.17346097 E499P


    Ist noch etwas Kaffee in der Kanne? ;)



    449!


    Die größte Fakultät <= 10^1000, wie man z.B. bei WolframAlpha leicht nachprüft: solve n! < 1E1000


    Normale Taschenrechner streiken hier. Mit dem HP 49G - einem CAS-Rechner - steht das exakte, 998 Dezimalstellen lange Ergebnis nach 10 s fest. Der WP 34s zeigt im Modus "Double" augenblicklich ein auf 32 Stellen genaues Ergebnis an. Unser Programm für den betagten TI-57 benötigt eine ganze Kaffeepause:

    3.8519304876 E997


    ... für nur noch 7 genaue Stellen.



    1000!


    Hier streckt der WP 34s die Waffen, doch das Programm kurbelt weiter:

    4.023872524 E2567



    Noch nicht genug?



    5000!


    4.2285775164 E16325 :alt:


    Also eine Zahl mit 16326 Dezimalstellen, von denen das Programm die ersten 7 korrekt ermittelt. Dieses Zahlenmonster mag unvorstellbar groß erscheinen., doch wir haben damit nur am unteren Rand des Darstellungsbereichs gekratzt, stehen gerade erst bei 10^10^4. Im Prinzip könnte es weitergehen bis 10^10^100.


    Bereits ab 1000! ufern die Rechenzeiten aber schon so sehr aus, daß die schrittweise Berechnung nur dann Sinn macht, wenn man exakte Ergebnisse benötigt. Die belegen aber auch entsprechend viel Speicher. Wo er knapp ist, bietet sich eine geeignete Näherungslösung an. Mehr dazu im nächsten und letzten Teil.



    Fröhliches Faktorenstapeln!

    Thorsten

    : RPN ."Register-Postfix-Notation" ;

  • TI-57 Fakultäten - Teil 3

    Stirling-Formel

    Zur ungefähren Ermittlung des Werts großer Fakultäten, deren exakte schrittweise Bestimmung zu langwierig wäre, bedient man sich einer geeigneten Näherung. Am bekanntesten ist die Stirling-Formel:


    n! ~ (2 \pi n)^1/2 × (n/e)^n


    Ihr Wert kommt dem der Fakultät n! mit wachsendem n immer näher. Eine modifizierte Form stellt eine genauere Approximation dar, die sich gut zur Auswertung mittels Taschenrechner eignet:


    n! ~ (2 \pi n)^1/2 × (n/e)^n × e^1/(12n)


    Anstelle von n-1 Multiplikationen zur Berechnung von n! ist nur ein gutes Dutzend arithmetischer Operationen auszuführen; ein Vorteil, der für große n schwer wiegt.


    Die Grenzen des Zahlenbereichs lassen sich auch hier leicht überwinden, indem Mantisse und Exponent in zwei Gleitkommazahlen vorgehalten werden. Der Einfachheit halber wird dazu die Normierungsroutine (SBR 0) aus Teil 2 wiederverwendet. Den größten Faktor schreibt man zweckmäßig um:


    (n/e)^n = 10^(n × log(n/e))

    = 10^FRAC(n × log(n/e)) × 10^INT(n × log(n/e))

    = 10^[n × log(n/e) - INT(n × log(n/e))] × 10^INT(n × log(n/e))

    = Mantisse × 10^Exponent


    Das Programm berechnet die Mantisse als AOS-Ausdruck, während es den Exponenten separat in Register 7 speichert bzw. per Registerarithmetik mit der Anweisung 'SUM 7' bilanziert.


    Ein so simpler Algorithmus spart zwar Programmspeicher, glänzt dafür weniger in puncto Präzision. Aus dem Ausdruck n × log(n/e) in Gl. 3 kommen von den 11 Stellen der Gleitkommazahl für die Mantisse nur die Nachkommastellen zum Tragen. In der letzten Stelle laufen Rundungsfehler auf, d.h. sie ist als unsicher anzusehen, evtl. auch die vorletzte Stelle. Um mindestens eine sichere Stelle zu bestimmen, dürfen höchstens 9 Vorkammastellen vorhanden sein. Damit ist n zumindest beschränkt auf:


    INT(n × log(n/e)) < 10^9, d.h.

    n < 130 202 808


    Tatsächlich liefert das Programm schon für n > 1E8 infolge von Rundungsfehlern keine verläßlichen Werte. Eine weitere Fehlerabschätzung erbringt max. 8 Stellen Genauigkeit für zweistellige n und durchgängig mindestens 5 genaue Stellen sind im Bereich 7 < n < 200 000 zu erwarten.



    Programm: Stirling-Formel

    n < 1E8




    Beispiel 69!


    69 SBR 1


    Ergebnis nach 5 Sekunden Rechenzeit:

    1.7112245


    Wechsel auf Anzeige des Exponenten mit x<->t:

    98.


    Also:

    1.7112245 E98


    Alle 11 Stellen der Mantisse ausgelesen:

    1.7112245018 E98


    8 genaue Stellen



    Vergleich

    Nun interessiert vor allem, wie sich die Methode aus Teil 2 (schrittweise Multiplikation von Gleitkommazahlen) gegen die Stirling-Formel behauptet. Stellen wir also ein paar Rechenergebnisse gegenüber:



    n n!
    (n-1 Multiplikationen)
    f~n!
    (modifizierte Stirling-Formel)
    Genaue Stellen
    69 1.7112245227 E98 (1m45s) 1.7112245018 E98 (5s) 9 / 8
    100 9.3326215296 E157 (2m40s) 9.3326217873 E157 (5s) 8 / 6
    253 5.17346097 E499 (7m) 5.1734604418 E499 (5s) 8 / 7
    449 3.8519304876 E997 (12m15s) 3.8519301084 E997 (5s) 7 / 7
    1000 4.023872524 E2567 (27m) 4.0238735516 E2567 (5s) 7 / 7
    5000 4.2285775164 E16325 (5h17m) 4.2285665889 E16325 (5s) 7 / 5
    10 000
    - 2.8462664450 E35659 - / 6
    100 000
    - 2.8242315197 E456573 - / 5
    1 000 000
    - 8.263993567 E5565708 - / 5
    10 000 000
    - 1.2025134351 E65657059 - / 4
    100 000 000
    - 1.6184151472 E756570556 - / 3


    (Rechenzeiten in Klammern)



    Im direkten Vergleich fällt die von Anfang an langsam abnehmende Genauigkeit der schrittweisen Berechnung auf, eine Folge zunehmender Rundungsfehler. Mit der modifizierten Stirling-Formel hingegen gewinnt man bis etwa n=1000 an Genauigkeit, wie erwartet geht sie aber auf Grund des einfachen Auswertungsverfahrens für größere Werte wieder verloren. Stellt man keine zu hohen Anforderungen an die Genauigkeit, so liefert die Stirling-Formel brauchbare Näherungswerte für n! bis etwa n = 1E8.

    Danke für's Interesse an großen Zahlen im kleinen Rechner TI-57!


    Gruß

    Thorsten

    : RPN ."Register-Postfix-Notation" ;

  • Hallo Thorsten,


    danke für diese nahezu das Universum sprengenden ausführlichen mathematischen Betrachtungen und Entwicklungen der besonderen Funktion n! mit gewissermaßen den Hilfsmitteln Speer und Keil wie zur Jagd im Neanderthal (der Speer ist selbstverständlich der Casio FX 3600P).

    Auch wenn man mich hier zu Beginn des Schreibens darauf hinweist, das dieses Thema eventuell veraltet scheint, wage ich hiermit eine Fortführung.
    Nach meinen Erkenntnissen und Erfahrungen besitzt die allgemeinere Gammafunktion im Vergleich zur besonderen Fakultätsfunktion jedoch wesentlich mehr praktischen Nutzen.

    Hier mal zwei Visualisierungen:

    1.) Betrag der komplexen Gammafunktion und


    2.)Komplexe Gammafunktion, Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet.


    Wesentliche Teile der Biochemie unseres menschlichen Geistes funktionieren gemäß und orientieren sich bei der täglichen 'Denkarbeit' an dieser Gamma-Funktion, besonders an deren 'Unendlichkeitsstellen' für negative ganze x.

    Mit dem Übergang zur analytischen Fortführung der Fakultät, der Gammafunktion, eventuell sogar noch mit visueller Darstellung und Auswertung, ist dann auch die Leistungsfähigkeit der guten alten Taschenrechner, ob vorprogrammiert oder selbst programmierbar, überschritten.


    Es hilft nichts, man wird in Zukunft für eine würdige Simulation der Tätigkeit der Teile des menschlichen Geistes vermutlich ohne diese neumodischen Quantenrechner-Dingers NICHT auskommen.


    Hier noch ein Bild eines Hewlett Packard Rechners, ich meine es ist der HP-86,

    welcher sich in den 80igern auch schon mit der Darstellung der Gammafunktion 'beschäftigen' durfte:



    Warum das Alles?

    Jetzt wird es transzendent und damit für dieses board wohl nicht mehr relevant und signifikant genug.

    Woanders täte man jetzt Fragen, wie z.B. die Empfindungen der geneigten Leserschaft beim betrachten des vor allem 2ten Bildes ausschauen...


    VG Ingolf

  • ...


    Wesentliche Teile der Biochemie unseres menschlichen Geistes funktionieren gemäß und orientieren sich bei der täglichen 'Denkarbeit' an dieser Gamma-Funktion, besonders an deren 'Unendlichkeitsstellen' für negative ganze x.

    Hallo Ingolf,


    hast du für diese Aussage eine Quelle, wo ich ein bischen mehr zum Thema nachlesen kann ?


    Gruß

    Roland

  • Vielleicht liegt eine Verwechslung mit der Zeta-Funktion vor, auf die sehr viel mehr Denkarbeit verwendet wird als auf die Gamma-Funktion.

  • Hallo Roland,

    >Hallo Ingolf,

    hast du für diese Aussage eine Quelle, wo ich ein bischen mehr zum Thema nachlesen kann ?

    Gruß

    Roland<

    Vorerst leider NEIN. Wenn dann etwas verfügbar ist, gebe ich umgehend Bescheid.

    Der Punkt ist, das die gegenwärtigen Themen und Protagonisten der Neurowissenschaften weltweit völlig am Ziel der Erkennung des menschlichen Geistes vorbei agieren. Dieser ggw. ausschließlich materialistische und mechanistische Ansatz im Bezug auf die Verrichtungen des menschlichen Gehirns und seines Geistes ('Software') scheinen mehr als fehl am Platze.

    Als Beispiele möchte ich hier kurz anführen:

    1.) Neuralink / Menschen drahtlos zu verbinden (Elon Musk)

    2.) den menschlichen Speicher auslesen / das Projekt Blue Brain von Henry Markrams Brain and Mind Institute sowie

    3.) die imho völlig abstruse Idee und eventuell sogar deren Umsetzung von der Leistungssteigerung durch Einsetzen von Nano-Robots in die neuralgischen Punkte von ca. 100 Milliarden Neuronen und der damit korrespondieren/verbundenen Synapsen in unserem Gehirn. 😂😂😂


    Was hier in Dresden bislang bekannt ist, ist a) die Funktionsweise des männlichen und weiblichen menschlichen Speichers (reine Analogtechnik, nichts digitales und selbstverständlich die Optik), b) der geistigen Dialog-Tätigkeit (NLP-Techniken) bei der täglichen Absolvierung geistiger Routinen und c) im groben die Verrichtung unserer wichtigen 'Denktätigkeiten' (Speicher rein/raus, Verarbeitung unter zu Hilfenahme der Gammafunktions-Stütze für weibliche und männliche Klientel.


    >>>Vielleicht liegt eine Verwechslung mit der Zeta-Funktion vor, auf die sehr viel mehr Denkarbeit verwendet wird als auf die Gamma-Funktion.<<<


    Hallo masi,

    man darf von vornherein NIE etwas ausschließen. Bisher ist Sie mir noch nicht so richtig 'untergekommen' (Die Zetafunktion).

    Ich meine aber, der leicht esoterisch angehauchte Mogue auf FB und youtube benutzt Sie zur Erklärung seiner Sichtweisen der Welt. Aber eben auch gern die Eulersche Identität /Relation. Imho kann ich damit mathematisch Denktätigkeiten eher weniger 'beschreiben'. Mann muss dazu wissen, das unser Geist nicht dem Einfluss der Newtonschen Mechanik (Gewichtskraft) und jenseits der Raumzeit Einsteins WERKELT. Und das macht es rund um unser Gehirn und dem menschlichen Geist bis auf die Erkennung und Bestimmung der Siemens-Halske Elektrik so verdammt schwer und UNBEGREIFBAR! Und dann auch noch die UNTERSCHIEDE von MANN und FRAU! Dieser Schöpfer..., obwohl die Politik und Gesellschaft der ggw. westlichen Wertewelt sieht Mann und Frau nun wieder mit ganz anderen Augen. SPANNEND!


    VG Ingolf


  • Schräg ...

  • Hallo Ingolf,


    bei Deinen Anmerkungen zur Neurobiologie muss ich leider auch passen. Die Fakultätsfunktion, die nur für natürliche Zahlen definiert ist, auch auf rationale, reelle und komplexe Zahlen zu erweitern war ein altes Anliegen der Mathematiker ... und führte schließlich zur Gammafunktion. Aber sie gehört eben schon nicht mehr zu den elementaren Funktionen, wie z.B. die in Natur- und Ingenieurwissenschaften ständig gebrauchten exponentiellen, trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen. Deshalb habe ich auf eine Behandlung hier im Thread gerne verzichtet, denn das Interesse daran dürfte sich in Grenzen halten.


    Obwohl die Gammafunktion wesentlich schwieriger zu berechnen ist als n!, heißt das nicht, daß diese Funktion für Taschenrechner tabu wäre. Der HP 32sII oder der HP 35s etwa berechnen sie en passant, denn die implementierte Fakultätsfunktion akzeptiert auch relle Eingaben. Außerdem wurden für programmierbare Taschenrechner ohne eingebaute Gammafunktion Routinen entwickelt, die die Funktion entweder genau berechnen oder wenigstens eine Näherungsgleichung verwenden. Die umfangreichste Sammlung dazu findet sich auf der Website über programmierbare Taschenrechner von Viktor Toth. Sogar zum TI-57 mit seinen mageren 50 Programmschritten hat er ein Beispielprogramm parat. Noch beeindruckender sind die Routinen, die er und teilweise seine Leser für noch primitivere Rechner erstellt haben, sogar für den Casio fx-3600P. Da kam ich, ehrlich gesagt, schwer ins Staunen!


    Wer Literatur zum Thema Spezielle Funktionen auf Taschenrechnern sucht, dem kann ich "Scientific Analysis on the Pocket Calculator" von Jon Smith empfehlen. Ja, es ist ein Oldie aus dem Jahr 1977, aber antiquarisch einfach zu beschaffen und inhaltlich fast so aktuell wie einst.


    Gammafreie Grüße!

    Thorsten

    : RPN ."Register-Postfix-Notation" ;

  • Hallo Thorsten,


    am Vormittag ist man 'neurobiologisch', oder wir sagen ja gern biochemisch im Geist am leistungsfähigsten, deshalb erfolgt jetzt erst meine Reaktion.


    >>>Obwohl die Gammafunktion wesentlich schwieriger zu berechnen ist als n!, heißt das nicht, daß diese Funktion für Taschenrechner tabu wäre. Der HP 32sII oder der HP 35s etwa berechnen sie en passant.<<<

    Genau, und ebenso der HP 34c, das damalige HP Flaggschiff der 3.ten Generation, den ich nebenher erwähnt noch SUCHE, auch defekt und in pflegebedürftigsten Zuständen.


    >>>Die Fakultätsfunktion, die nur für natürliche Zahlen definiert ist, auch auf rationale, reelle und komplexe Zahlen zu erweitern war ein altes Anliegen der Mathematiker ... und führte schließlich zur Gammafunktion. Aber sie gehört eben schon nicht mehr zu den elementaren Funktionen, wie z.B. die in Natur- und Ingenieurwissenschaften<<<
    Dafür gehört Sie als 'Verallgemeinerung der Fakultät n!' zu den elementarsten Funktion und zum natur-mathematischen Grundstock für die Beschreibung einer geistigen Tätigkeit. Passt doch, supi, da kommt man nur im Besonderen den Ingenieuren und Naturwissenschaftlern bei n! für natürliche x oder bei negativen Ganzen Zahlen -n! (ich weiß -->Gamma) in die Quere.

    Vergleichbar wäre Sie bei Ihrem Nutzen und dem Wirken bei geistiger Tätigkeit mit der ALU oder den Rechenwerken bei den Errungenschaften des Materiellen oder der technischen Basis dieses Boards, den elektro-mechanischen Rechnern. 👍


    Der Punkt ist leider der, das bis auf elektrische Signale im Gehirn so überhaupt nichts beim Werkeln im 'menschlichen Computer' übereinstimmt mit der ggw. Rechentechnik bis hin zu den Quanten-Computern und den gesamtem mechanistischen Denkansätzen über UNS!

    Dann bleibt einem nur übrig, mit dem Fundament unseres Seins, der Mathematik, Beschreibungen zu suchen.

    Und ich meine für die Beschreibung und Darstellung der täglichen Denkarbeit mit der Gammafunktion einen ersten und NIE hilflosen Ansatz gefunden zu haben.

    Müßig zu erwähnen, das Frauen eine etwas andere Gammafunktionalität zu haben scheinen (gedoppelte). Dafür werden Sie wohl kaum etwas EVOLUTIONÄRES geistig leisten können (wie Einstein, Planck, Maxwell oder weiters Goethe Schiller, Nietzsche Rilke, Beethoven, Wagner etc). Deshalb werden Sie auch gerade in unserer Gesellschaft gleichgestellt

    (Überholen ohne einzuholen / Ulbricht / tiefste DDR-Ideologie). 🤣😂🤣😂🤣😂


    VG Ingolf

  • Hi, zurück zu den Fakultäten... :0) (Obwohl schon lange her...)


    als kleinen Trick haben wir damals anstatt die Werte zu multiplizieren den Logarithmus der Werte addiert und das Ergebnis dann entlogarithmiert - war viel schneller... Hatte dafür ein kleines Programm am Sharp PC1401


    Lg. TOM:0)

  • >>>als kleinen Trick haben wir damals anstatt die Werte zu multiplizieren den Logarithmus der Werte addiert und das Ergebnis dann entlogarithmiert - war viel schneller... Hatte dafür ein kleines Programm am Sharp PC1400<<<


    Da habt Ihr Euch doch vom Commodore SR 9190 'inspirieren' lassen, gewissermaßen der chinesische Weg!

  • >>>Ich wußte nicht mal, daß es herkömmliche und nichtherkömmliche Mathematiker gibt.<<<

    Man lernt halt nicht aus, gell.

    Es gibt sogar ein bedeutsames Unterscheidungskriterium, das die Spreu Mathematiker vom Weizen Matheähnliche trennt.

    Tärä: Es gibt mehr und weniger als Unendlich, mehr und weniger als Nichts.

    So ganz als antipodische Antagone These (für und wegen hanni) zur pädagogischen und herkömmlichen Meinung des Internet-Mathematikers Herr Spannagel. 👌👌👌

    Hoffentlich gleitet es hier jetzt nicht wie üblich und in der deutschen Politik und Gesellschaft ständig vorexerziert nach 'Bist Du nicht mein FREUND, so bist Du wenigstens mein FEIND' ab!

    Ansonsten 'Over and Out',

    weil ich sowieso im OBJEKTIVEN Recht bin, aus diesem alles für alle Zeiten umfassenden Rechtsystem, welches sich aus den Pflichten einer Menschheit ganz einfach ableiten lässt.

  • Hi, zurück zu den Fakultäten... :0) (Obwohl schon lange her...)


    als kleinen Trick haben wir damals anstatt die Werte zu multiplizieren den Logarithmus der Werte addiert und das Ergebnis dann entlogarithmiert - war viel schneller... Hatte dafür ein kleines Programm am Sharp PC1401


    Lg. TOM:0)

    Danke für den Hinweis! :thumbup:


    Das ist eine ähnliche, etwas einfachere Methode wie oben in Teil 2 für den TI-57.


    Vielleicht findest Du Dein BASIC-Programm für den Sharp PC-1401 (lt. Sharp sowohl Taschenrechner als auch Taschencomputer) nach der langen Zeit noch irgendwo. Macht ja immer Spaß, diese kleinen Routinen im Geiste durchzurechnen oder tatsächlich in die alten Maschinchen einzutasten ... :)

    : RPN ."Register-Postfix-Notation" ;